5 Integration durch Substitution; partielle Integration
Mit der Integration durch Substitution sowie der partiellen Integration lernen die Schüler zwei Verfahren kennen, mit deren Hilfe sie nun viel mehr Funktionen integrieren können als bisher. Der Aspekt der Integration als Umkehrung der Differentiation wird hierbei nochmals besonders deutlich. Die Schüler sollen ausreichende Geläufigkeit in der Handhabung dieser Verfahren erlangen.
Integration durch Substitution
Begründung mit Hilfe der Kettenregel
partielle Integration
Begründung mit Hilfe der Produktregel
6 Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale spielen in der Mathematik und in naturwissenschaftlich-technischen Disziplinen eine bedeutende Rolle. Deshalb sollen die Schüler lernen, uneigentliche Integrale zu erkennen, mit geeigneten Methoden auszuwerten und entsprechende Beispiele, etwa aus der Physik, zu behandeln.
uneigentliche Integrale:
Integrale mit unbeschränktem Integrationsintervall,
Integrale mit unbeschränktem Integranden
Definition und Auswertung
(
Ph: z. B. Potential im Zentralfeld: Fluchtgeschwindigkeit, Coulomb-Wall)
7 Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
Die in Naturwissenschaft und Technik wichtigen trigonometrischen Funktionen sind bereits aus dem Mittelstufenunterricht bekannt. Sie sind bei geeigneter Einschränkung ihrer Definitionsmenge umkehrbar. Ihre Umkehrfunktionen, die Arcusfunktionen, erweisen sich sowohl bei der Winkelberechnung wie beim Integrieren als nützlich.
die Funktionen arcsin, arccos, arctan und ihre Eigenschaften
Definitionsmenge, Wertemenge, Graph, Symmetrie, Monotonie
Ableitung der Arcusfunktionen
Herleitung über die Ableitung der Umkehrfunktionen, Verhalten am Rand der Definitionsmenge;
Stammfunktionen zu
Aufgaben und Anwendungen
Kurvendiskussionen, insbesondere bei Verknüpfungen von Arcusfunktionen mit anderen Funktionen;
Integrationen
Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik
7 Bernoulli-Kette und Binomialverteilung
Die Bernoulli-Kette, der einfachste Typ eines mehrstufigen Zufallsexperiments, liefert ein aussagekräftiges und gut verständliches Modell für viele Vorgänge, z. B. in der Wirtschaft und im Gesundheitsbereich. Die Untersuchung von Bernoulli-Ketten führt zu binomialverteilten Zufallsgrößen, bei deren Behandlung die Schüler ihre bisherigen Kenntnisse aus der Stochastik anwenden und vertiefen können.
Bernoulli-Experiment,
Bernoulli-Kette
Verwenden von Urnenmodell und Baumdiagrammen;
Sprechweisen: Treffer, Niete, Bernoulli-Kette der Länge n mit dem Parameter p
Jakob Bernoulli (1655 - 1705)
Binomialverteilung,
binomialverteilte Zufallsgrößen
Stabdiagramme, Histogramme;
Verteilungsfunktion
Verwenden von Tabellen;
experimentelle Überprüfung, z. B. am Galtonbrett
Francis Galton (1828 - 1911)
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen
Aufgaben und Anwendungen
( WR: Qualitätskontrolle)
( B: Ansteckungsrisiko, z. B. bei AIDS)
( GE, W: Wirklichkeit und mathematisches Modell)
8 Tschebyschow-Ungleichung; Gesetz der großen Zahlen
Die Tschebyschow-Ungleichung erlaubt allein aus der Kenntnis von Erwartungswert und Varianz einer Zufallsgröße eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit, mit der eine bestimmte Abweichung vom Erwartungswert nicht überschritten wird. Weiter lässt sich aus ihr das schwache Gesetz der großen Zahlen ableiten. Die Schüler sollen erkennen, dass damit die empirisch bereits festgestellte Stabilisierung der relativen Häufigkeit mathematisch präzisiert wird und die Verwendung relativer Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten gerechtfertigt ist.
Tschebyschow-Ungleichung
allgemeine Herleitung aus der Varianz, Spezialisierung auf die Binomialverteilung
P. L. Tschebyschow (1821 - 1894)
( WR: Qualitätskontrolle)
Gesetze der großen Zahlen
Folgerung des schwachen Gesetzes aus der Tschebyschow-Ungleichung;
Hinweis auf das starke Gesetz
Jakob Bernoulli (1655 - 1705)
( W: Wirklichkeit und mathematisches Modell)
9 Näherungen für die Binomialverteilung, die Normalverteilung
Die Untersuchung von Binomialverteilungen B(n;p) zu festem Parameter p bei wachsendem n führt über den lokalen und den integralen Grenzwertsatz zur Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung. In diesem Zusammenhang werden auch Kenntnisse aus der Infinitesimalrechnung eingesetzt. Mit der Normalverteilung eröffnet sich den Schülern ein weites Feld von Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik, in der Wirtschaft und den Sozialwissenschaften.
lokaler Grenzwertsatz,
integraler Grenzwertsatz
Zur Darlegung der Beweisidee wird die standardisierte Dichtefunktion der Binomialverteilung eingeführt.
Abraham de Moivre (1667 - 1754)
( G: Pierre Simon Laplace, 1749 - 1827)
Normalverteilung
in erster Linie als Näherung der Binomialverteilung;
Eigenschaften und Graphen von Dichtefunktion und Verteilungsfunktion;
Verwenden von Tabellen
zentraler Grenzwertsatz
Hinweis auf Aussage und Bedeutung
Aufgaben und Anwendungen
( WR: Güterproduktion)
( Sk: Verfahren zur Erstellung von Wahlprognosen)
( B: Verteilung von Merkmalen)
10 Testen von Hypothesen
Beim Testen einer Hypothese wird eine Vermutung oder eine Behauptung über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit Hilfe eines geeigneten Testverfahrens angenommen oder abgelehnt. In beiden Fällen ist die Entscheidung mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit behaftet. Die Schüler sollen diese Problematik verstehen ( K, Ev, Eth) und an praktischen Beispielen lernen, mit Hilfe von Binomialverteilung und Normalverteilung Tests sachgerecht zu formulieren und auszuwerten. Darüber hinaus sollen sie in der Lage sein, Tests und deren Ergebnisse kritisch zu beurteilen.
Testen von Hypothesen
Alternativtest, Signifikanztest;
einfache und zusammengesetzte Hypothesen;
Stichproben;
Entscheidungsregel, Annahmebereich,
Ablehnungsbereich;
Fehler und Risiko 1. bzw. 2. Art, Signifikanzniveau
Operationscharakteristik eines Ereignisses
sorgfältige Begriffsbildung;
Graphen;
Abhängigkeit der OC-Kurven von Stichprobenlänge und Annahmebereich;
Optimierungsüberlegungen;
Hinweis auf verfälschte Tests
Aufgaben und Anwendungen
( WR: Schadensminimierung)
( B: Vererbung von Merkmalen)
Analytische Geometrie
6 Skalarprodukt von Vektoren;
Betrachtungen zur Metrik, Längen- und Winkelberechnungen
Mit den Vektorraumaxiomen allein lässt sich noch keine Längen- und Winkelmessung begründen. Dazu bedarf es einer zusätzlichen Struktur, die durch das Skalarprodukt erzeugt wird. Die Schüler sollen verstehen, dass Länge und Winkel relative Begriffe sind, die von der Wahl des Skalarprodukts abhängen. Im Anschauungsraum sollen sie Längen und Winkel sicher berechnen können und an einigen Beispielen den Zusammenhang mit der Elementargeometrie erkennen.
Skalarprodukt zweier Vektoren eines reellen Vektorraums;
euklidischer Vektorraum
Axiome des Skalarprodukts;
verschiedene Skalarprodukte im 
,
insbesondere Verwendung des Standardskalarprodukts
Hier kann auch ein nichtgeometrisches Beispiel betrachtet werden.
( Ph: Arbeit)
Längen- und Winkelberechnungen
Betrag eines Vektors, Winkel zweier Vektoren;
Einheitsvektoren, orthogonale Vektoren, Orthonormalbasis, orthogonale Projektion eines Vektors auf einen Vektor;
Entfernung zweier Punkte, Winkel zwischen zwei Geraden;
Abstand windschiefer Geraden;
Zusammenhang mit der Elementargeometrie (z. B. Satz von Pythagoras, Satz von Thales);
Kreisgleichungen, Kugelgleichungen
7 Vektorprodukt
Das Vektorprodukt ist eine Rechenoperation im , die zwei Vektoren einen Vektor zuordnet. Die Schüler sollen sich den Unterschied zum Skalarprodukt bewusstmachen und das Vektorprodukt bei Flächenberechnungen und bei der Bestimmung von Normalenvektoren anwenden lernen.
Vektorprodukt im
Definition, Eigenschaften
Anwendungen
Normalenvektor einer Ebene;
Flächeninhalt eines Parallelogramms,
Volumen eines Spats
( Ph: Drehmoment, Drehimpuls, Lorentzkraft)
8 Normalenformen von Geraden- bzw. Ebenengleichungen,
geometrische Anwendungen
Die Schüler sollen verstehen, dass man die Koordinatenform von Geraden- und Ebenengleichungen mit Hilfe des Skalarprodukts als Normalenform auffassen kann. Sie sollen weiter die Bedeutung der Hesseschen Normalenform einsehen und Sicherheit in ihrer Anwendung bei Abstandsproblemen gewinnen.
Normalenvektor einer Geraden bzw. einer Ebene;
Geraden- und Ebenengleichungen in Normalenform
orthogonale Geraden und Ebenen;
skalare und vektorielle Schreibweise
Hessesche Normalenform;
geometrische Anwendungen
Abstand eines Punktes von einer Geraden bzw. von einer Ebene;
Winkel zwischen zwei Ebenen;
winkelhalbierende Geraden und winkelhalbierende Ebenen
Otto Hesse (1811 - 1874)
