Fachlehrplan für Mathematik an bayerischen Gymnasien     KWMBl So.-Nr. 8/1991

 

Leistungskurs

(6)

Jahrgangsstufe 12

 

Infinitesimalrechnung

 (ca. 68 Std.)
 

1 Messbarkeit von Flächen, Berechnung von Flächeninhalten, Begriff des bestimmten Integrals

(ca. 16 Std.)

Die im Geometrieunterricht der Unter- und Mittelstufe durchgeführten elementaren Flächenmessungen gingen von einem anschaulich motivierten Inhaltsbegriff aus. Die Schüler erkennen nun anhand geeigneter Beispiele, dass das Konzept des Flächeninhalts neu überdacht werden muss, wobei die intuitiv vorausgesetzten Eigenschaften als Richtschnur dienen. Diese Überlegungen führen zum Begriff des bestimmten Integrals, mit dessen Hilfe die Schüler krummlinig begrenzte Flächen zu berechnen lernen und damit erneut die Tragweite des Grenzwertbegriffs der Infinitesimalrechnung erfahren. Auf die geschichtliche Entwicklung der Integralrechnung soll im Unterricht eingegangen werden.                  
 

Messbarkeit von Flächen
 

 

Axiome des Flächeninhalts: Nichtnegativität, Normiertheit, Additivität
 

Berechnung von Flächeninhalten durch Grenzprozesse
 

 

Streifenmethode, auch mit verschieden breiten Streifen;
Hinweis auf die Zerlegungsinvarianz des Flächeninhalts;
Abschätzungen von Flächeninhalten,
z. B. mittels Tabellenkalkulation
(Pfeil rechts G: Archimedes, ca. 287 - 212 v. Chr.)
 

das bestimmte Integral als Grenzwert von Summenfolgen;
Eigenschaften des bestimmten Integrals
 

 

Begriffe: Untersumme, Obersumme;
Integrand, Integrationsintervall;
Deutung des bestimmten Integrals als Flächenbilanz;
Linearitätseigenschaften
(Pfeil rechts G: Isaac Newton, 1642 - 1727;
Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 - 1716)
Bernhard Riemann (1826 - 1866)
 

 

2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und seine Anwendung

(ca. 16 Std.)

Bei stetigen Integranden ermöglicht die Differentialrechnung in zahlreichen Fällen die Auswertung bestimmter Integrale, wofür der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung die Grundlage bietet. Die Schüler sollen an dieser Stelle erneut erfahren, wie erfolgreich die Infinitesimalrechnung gerade auch zur Lösung anspruchsvoller Probleme eingesetzt werden kann. Anhand anwendungsbezogener Beispiele wird sich die praktische Bedeutung des Hauptsatzes deutlich herausstellen.       
 

Integralfunktion;
der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
 

 

Beweis des Hauptsatzes;
Integration als Umkehrung der Differentiation
 

Stammfunktion und Berechnung des bestimmten Integrals mit Hilfe einer Stammfunktion;
unbestimmtes Integral
 

 

Stammfunktionen von

Abgrenzung der Begriffe Integralfunktion, Stammfunktion, unbestimmtes Integral
 

Anwendungen
 

 

insbesondere Berechnung von Flächeninhalten;
auch Volumenberechnungen einfacher Rotationskörper
(Pfeil rechts Ph: Bewegungsvorgänge, Arbeit)
(Pfeil rechts WR, Ek: Mittelwerte)
 

Anstatt mit der Berechnung von Flächeninhalten zu beginnen, kann man auch die Stammfunktion an den Anfang stellen.
 

 

3 Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen,
ihre Behandlung mit den Mitteln der Infinitesimalrechnung

(ca. 26 Std.)

Die Untersuchung der Integralfunktion von zur unteren Grenze 1 zeigt, dass diese Funktion die typischen Eigenschaften der schon aus der Mittelstufe bekannten Logarithmusfunktionen hat. Die natürliche Exponentialfunktion wird als Umkehrfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion definiert; daraus ergeben sich ihre Eigenschaften. Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen spielen bei der Beschreibung vieler Probleme aus so unterschiedlichen Bereichen wie etwa Naturwissenschaften, Wirtschaft und Soziologie eine wichtige Rolle; davon sollen sich die Schüler anhand zahlreicher Beispiele überzeugen (Pfeil rechts BO).                  
 

die natürliche Logarithmusfunktion und ihre Eigenschaften;
 

 

die Integralfunktion

schrittweise Begründung für das Vorliegen einer Logarithmusfunktion;
 

 

die Eulersche Zahl e
 

 

Definition von e durch

Leonhard Euler (1707 - 1783)
 

Grenzwertdarstellung für die Zahl e
 

 


Hinweis auf weitere Berechnungsmöglichkeiten sowie auf die Irrationalität und die Transzendenz von e
 

Umkehrfunktionen und ihre Ableitung
 

 

Wiederholung der Begriffe Umkehrbarkeit einer Funktion und Umkehrfunktion;
Satz von der Ableitung der Umkehrfunktion und sein Beweis;
Hinweis auf die Ableitung der Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten
 

die natürliche Exponentialfunktion als Umkehrfunktion der ln-Funktion; Eigenschaften der e-Funktion
 

 

Herleitung der Eigenschaften aufgrund des Zusammenhangs mit der ln-Funktion
 

allgemeine Exponentialfunktionen bzw.
Logarithmusfunktionen
 

 

Darstellung mit Hilfe der e-Funktion bzw. der ln-Funktion;
Ableitung und Integration von ,

 

Aufgaben und Anwendungen
 

 

Kurvendiskussionen;

(Pfeil rechts B: Wachstumsvorgänge, z. B. Wachstum von Populationen; Weber-Fechnersches Gesetz)
(Pfeil rechts Ek: Bevölkerungswachstum; Pfeil rechts DW)
(Pfeil rechts Ph, C: Abklingvorgänge, z. B. radioaktiver Zerfall; Absorptionsvorgänge)
(Pfeil rechts WR: stetige Verzinsung; Pfeil rechts U: Wachstumsvorgänge)
 

 

4 Rationale Funktionen*

(ca. 10 Std.)

Mit den gebrochenrationalen Funktionen lernen die Schüler Funktionen kennen, bei deren Untersuchung die bisherigen Kenntnisse und Arbeitstechniken aus der Infinitesimalrechnung auf vielfältige Weise zum Einsatz kommen. Dies gilt insbesondere für anspruchsvollere Kurvendiskussionen. Dabei sollen die Schüler einen Einblick in die zahlreichen interessanten Anwendungsmöglichkeiten rationaler Funktionen in Naturwissenschaft und Technik erhalten.                  
 

rationale Funktionen und ihre Eigenschaften;
Kurvendiskussionen
 

 

Definitionsmenge;
Stetigkeit und Differenzierbarkeit;
Verhalten an den Definitionslücken und im Unendlichen;
stetige Fortsetzung, Polstellen, Asymptoten;
Integration in einfachen Fällen
 

Anwendungen rationaler Funktionen in Naturwissenschaft und Technik
 

 

(Pfeil rechts Ph: z. B. Abbildung durch optische Linsen, Parallelschaltung von Widerständen, Satellitenbewegung, Van-der-Waals-Gleichung realer Gase)
(Pfeil rechts MT: Festigkeitslehre, Statik)
 

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* Dieser Abschnitt ist aus systematischen Gründen in Jahrgangsstufe 12 aufgeführt, seine Behandlung kann sich aber in die Jahrgangsstufe 13 erstrecken.          
 

 

Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik

(ca. 52 Std.)

1 Zufallsexperimente; Mathematisierung realer Vorgänge

(ca. 8 Std.)

Probleme aus dem Alltag, aus den Naturwissenschaften und den Sozialwissenschaften führen auf den Begriff des Zufallsexperiments, mit dem nicht kausal erschließbare Vorgänge beschrieben werden können. Die Schüler sollen lernen, reale Situationen durch mathematische Modelle zu erfassen und die dabei eingeführten Sprechweisen und Begriffe sachgerecht zu verwenden.                  
 

Zufallsexperimente;
 

 

Glücksspiele, Urnenexperimente
(Pfeil rechts B: Vererbung von Eigenschaften)
(Pfeil rechts Ph: radioaktiver Zerfall)
(Pfeil rechts Sk: Meinungsumfragen)
(Pfeil rechts W: Wirklichkeit und mathematisches Modell)

 

Ergebnisse und Ergebnisraum;
Ereignisse und Ereignisraum;

Ereignisalgebra
 

 

Beschränkung auf endliche Ergebnisräume;
Umsetzung umgangssprachlicher Aussagen in Mengenschreibweise (Pfeil rechts DS)
Rechengesetze
 

 

2 Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeitsbegriff

(ca. 8 Std.)

Bei einfachen Zufallsexperimenten lernen die Schüler, relative Häufigkeiten von Ereignissen experimentell zu bestimmen und graphisch darzustellen. Die Eigenschaften der relativen Häufigkeit motivieren die Einführung des axiomatischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs nach Kolmogorow. Frühere Versuche zur Definition von Wahrscheinlichkeiten sollen diskutiert werden, um den Schülern die Schwierigkeiten bei der Festlegung dieses Begriffs bewusstzumachen.                  
 

relative Häufigkeit eines Ereignisses;
Eigenschaften;
 

 

Versuchsreihen, z. B. Münzwurf, Würfelwurf, Ziehen aus einer Urne;
Möglichkeit der Computersimulation;
graphische Darstellung der relativen Häufigkeit eines Ereignisses in Abhängigkeit von der Anzahl der Versuche;
 

empirisches Gesetz der großen Zahlen
 

 

Stabilisierung der relativen Häufigkeit
 

historische Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs; Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses;
Wahrscheinlichkeitsraum
 

 

klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff von Laplace;
statistische Wahrscheinlichkeit nach
v. Mises;
Axiome nach Kolmogorow, Folgerungen;
Vergleich mit dem Flächenmaß
(Pfeil rechts Ph, C: Orbitalmodell)
(Pfeil rechts G: Pierre Simon Laplace, 1749 - 1827)
Richard v. Mises (1883 - 1953)
Andrej Nikolajewitsch Kolmogorow (1903 - 1987)
 

 

3 Einführung in die Kombinatorik

(ca. 8 Std.)

Zahlreiche Vorgänge in der Wirklichkeit lassen sich durch mehrstufige Zufallsexperimente mathematisch beschreiben. In der Kombinatorik lernen die Schüler, die möglichen Ausgänge solcher Experimente durch geschickte Darstellung und durch systematisches Zählen zu erfassen. Damit können Laplace-Wahrscheinlichkeiten auch in komplizierteren Fällen berechnet werden.                  
 

mehrstufige Zufallsexperimente;
allgemeines Zählprinzip
 

 

insbesondere Urnenmodell: Ziehen mit Zurücklegen, Ziehen ohne Zurücklegen; Baumdiagramme, Pfade
 

k-Tupel, k-Permutationen, k-Teilmengen, k-Kombinationen aus einer n-Menge;
Formeln für ihre Anzahl
 

 


 

Anwendungen
 

 

insbesondere Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten
 

 

4 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen

(ca. 8 Std.)

Etwa bei Urnenexperimenten kann man feststellen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von den zur Verfügung stehenden Informationen abhängen kann. Diese Tatsache wird mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit genau beschrieben und führt zu den mathematischen Begriffen Unabhängigkeit und Abhängigkeit von Ereignissen. Die Schüler sollen verstehen, wie die Verwendung dieser Begriffe eine Entscheidung darüber unterstützen kann, ob Vorgänge einander beeinflussen oder nicht.                  
 

bedingte Wahrscheinlichkeit
 

 

Definition durch

Nachweis, dass die Funktion PB ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist;
Pfadregeln und totale Wahrscheinlichkeit
 

Formel von Bayes
 

 

Lösung eines Umkehrproblems;
Herleitung für zweielementige Zerlegungen
Thomas Bayes (1702 - 1761)
 

Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit zweier Ereignisse;
Produktformel
 

 

Abgrenzung des Begriffs Unabhängigkeit vom Begriff Unvereinbarkeit;
Hinweis auf die Unabhängigkeit von mehr als zwei Ereignissen
 

Aufgaben und Anwendungen
 

 

etwa zur Bevölkerungsstatistik
(Pfeil rechts GE: Rauchen und Lebenserwartung)
(Pfeil rechts D: Textverständnis)
 

 

5 Zufallsgrößen und ihre Verteilungsfunktionen

(ca. 8 Std.)

Beispiele von Glücksspielen oder aus dem Versicherungswesen zeigen, dass in der Praxis den Ergebnissen von Zufallsexperimenten häufig Zahlen zugeordnet werden, etwa ein Gewinn bzw. eine Prämie. Die so entstehenden reellwertigen Funktionen bezeichnet man als Zufallsgrößen. Zu ihrer Charakterisierung dienen Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Verteilungsfunktionen. Die Schüler sollen hier eine hilfreiche Anbindung der Wahrscheinlichkeitsrechnung an die Infinitesimalrechnung erfahren.                  
 

Zufallsgrößen
 

 


 

Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße
 

 

Definition und Eigenschaften;
Graphen, Stabdiagramme, Histogramme
 

gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion zweier Zufallsgrößen; Unabhängigkeit zweier Zufallsgrößen;
Verknüpfungen von Zufallsgrößen
 

 

Definition als reellwertige Funktion zweier reeller Variablen

 

 

6 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
als Maßzahlen von Zufallsgrößen

(ca. 8 Std.)

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung dienen der groben Charakterisierung von Zufallsgrößen. In der Praxis stellt sich oft die Frage, ob bestimmte zufällige Ereignisse, etwa beim Klima, noch in den Rahmen des Üblichen fallen oder als ungewöhnlich zu bewerten sind. In übersichtlichen Situationen sollen die Schüler lernen, solchen Fragen mit Hilfe der genannten Maßzahlen genauer nachzugehen.                  
 

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße
 

 

Definition, Verständnis für die Begriffsbildung;
Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz, auch bei Verknüpfungen von Zufallsgrößen
 

Aufgaben und Anwendungen
 

 

(Pfeil rechts WR: mittlere Reparaturkosten)
(Pfeil rechts Ph: Messgenauigkeit)
(Pfeil rechts MT, U: Klima)
 

 

Analytische Geometrie

(ca. 48 Std.)

1 Rechnen mit Vektoren im Anschauungsraum; Vektorräume

(ca. 10 Std.)

Der Vektorbegriff ist bereits in der ebenen Geometrie der Mittelstufe anschaulich eingeführt worden und hat auch in der Physik gute Dienste geleistet. Daran anknüpfend soll er nun im Anschauungsraum erklärt werden. Hier sollen die Schüler auch den sicheren Umgang mit Vektoraddition und S-Multiplikation lernen. Die erarbeiteten Rechenregeln werden dann als Axiome des abstrakten reellen Vektorraums betrachtet.                  
 

Vektorbegriff
 

 

Vektor als Menge aller parallelgleichen Pfeile im Anschauungsraum, Repräsentanten eines Vektors;
Deutung eines Vektors als Translation;
Darstellung von Vektoren in einem Koordinatensystem als 2- bzw. 3-Tupel reeller Zahlen
(Pfeil rechts Ph: z. B. Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Kräfte, Feldstärken)
 

Vektoraddition,
S-Multiplikation
 

 

anschauliche Motivation durch Verkettung von Translationen bzw. durch die zentrische Streckung;
Rechengesetze;
Gruppenstruktur
 

reeller Vektorraum
 

 

Vektorraumaxiome;
nichtgeometrisches Beispiel eines reellen Vektorraums;
Hinweis auf die Körperstruktur von und auf Vektorräume über beliebigen Körpern
 

 

2 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren;
Basis und Dimension eines Vektorraums

(ca. 14 Std.)

Die Verbindung von Vektoraddition und S-Multiplikation führt zu Linearkombinationen von Vektoren. Von dort gelangt man weiter zum Begriff der linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren und zu den Begriffen Basis und Dimension eines Vektorraums. Beim Versuch, einen Vektor als Linearkombination von Vektoren darzustellen, ergeben sich in natürlicher Weise lineare Gleichungssysteme. Die Schüler sollen die neuen Begriffe sachgerecht verwenden und die Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme mit zwei oder drei Unbekannten sicher bestimmen können. Darüber hinaus sollen sie das Gaußsche Eliminationsverfahren als leistungsfähige Lösungsmethode für beliebige lineare Systeme erkennen.                  
 

Linearkombination von Vektoren;
lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
 

 

allgemeine Definition für reelle Vektorräume;
Veranschaulichung im durch kollineare bzw. komplanare Vektoren;
geometrische Anwendungen
 

Basis und Dimension eines reellen Vektorraums
 

 


nichtgeometrisches Beispiel
(Pfeil rechts Ph: 6-dimensionaler Ort-Impuls-Raum, Phasenräume)
 

lineare Gleichungssysteme
 

 

homogene und inhomogene Systeme mit zwei oder drei Unbekannten;
Gaußscher Algorithmus
Hier können auch zwei- bzw. dreireihige Determinanten verwendet werden;
auch Beispiele größerer Systeme,
Möglichkeit zum Computereinsatz
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
(Pfeil rechts Ph: z. B. Festkörperphysik, Raumfahrt)
(Pfeil rechts WR: lineare Optimierung)
 

 

3 Koordinatendarstellung von Vektoren; Vektorraum und Punktraum

(ca. 7 Std.)

Jeder Vektor eines Vektorraums ist bezüglich einer fest gewählten Basis eindeutig als Linearkombination und damit in Koordinaten darstellbar. Nach Wahl eines Bezugspunktes kann man die Lage eines jeden Punktes im Anschauungsraum durch einen Vektor eindeutig beschreiben. Die Schüler sollen den Zusammenhang zwischen dem seit langem vertrauten Begriff des Koordinatensystems in der Ebene bzw. im Anschauungsraum und dem neuen Begriff der Basis des Vektorraums bzw. verstehen.
 

Koordinaten eines Vektors bezüglich einer Basis
 

 

Eindeutigkeit der Basisdarstellung;
insbesondere Verwendung der Standardbasis des bzw.
 

Punkte und ihre Ortsvektoren,
Koordinatensysteme
 

 

Unterscheidung zwischen Vektorraum und Punktraum
 

Teilverhältnis
 

 

innere und äußere Teilung einer Strecke, harmonische Teilung;
Mittelpunkt einer Strecke,
Schwerpunkt eines Dreiecks
 

 

4 Geraden- und Ebenengleichungen
in Vektor- und Koordinatenschreibweise

(ca. 6 Std.)

Vektoren ermöglichen die einfache Beschreibung von Geraden und Ebenen des Anschauungsraums durch Gleichungen in Parameterform. Eliminieren der Parameter führt zur Koordinatendarstellung von Geraden in der Ebene und von Ebenen im Raum. Die Schüler sollen lernen, anschaulich zu argumentieren und die Darstellungsformen sorgfältig zu unterscheiden. Sie sollen auch Sicherheit in der zeichnerischen Darstellung räumlicher Situationen gewinnen.                  
 

Geraden- und Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform
 

 

Hinweis auf Nichteindeutigkeit der Darstellung;
geeignete Zeichnungen und Skizzen
 

Geraden- und Ebenengleichungen in Koordinatenform
 

 

Gewinnen der Koordinatenform durch Eliminieren der Parameter; auch umgekehrt Aufstellen einer Parameterform aus einer Koordinatenform;
Zusammenhang mit der Geradengleichung aus der Mittelstufe;
Achsenabschnittsform;
Spurpunkte und Spurgeraden;
achsenparallele Geraden bzw. Ebenen;
zeichnerische Darstellungen
 

 

5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen

(ca. 6 Std.)

Die Schüler sollen lernen, Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen rechnerisch zu untersuchen, Schnittpunkte bzw. Schnittgeraden sicher zu bestimmen und sich die gegenseitige räumliche Lage der geometrischen Objekte vorzustellen. Dabei wird auf die Kenntnisse über lineare Gleichungssysteme zurückgegriffen.                  
 

Lagebeziehungen von Punkten und Geraden in der Ebene
 

 

auch geometrische Deutung von linearen (2,2)-Systemen
 

Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum
 

 

geometrische Interpretation rechnerischer Ergebnisse;
auch zeichnerische Darstellung räumlicher Situationen;
geometrische Deutung von linearen (3,3)-Systemen
 

 

 


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