1 Messbarkeit von Flächen, Berechnung von Flächeninhalten, Begriff des bestimmten Integrals
Die im Geometrieunterricht der Unter- und Mittelstufe durchgeführten elementaren Flächenmessungen gingen von einem anschaulich motivierten Inhaltsbegriff aus. Die Schüler erkennen nun anhand geeigneter Beispiele, dass das Konzept des Flächeninhalts neu überdacht werden muss, wobei die intuitiv vorausgesetzten Eigenschaften als Richtschnur dienen. Diese Überlegungen führen zum Begriff des bestimmten Integrals, mit dessen Hilfe die Schüler krummlinig begrenzte Flächen zu berechnen lernen und damit erneut die Tragweite des Grenzwertbegriffs der Infinitesimalrechnung erfahren. Auf die geschichtliche Entwicklung der Integralrechnung soll im Unterricht eingegangen werden.
Messbarkeit von Flächen
Axiome des Flächeninhalts: Nichtnegativität, Normiertheit, Additivität
Berechnung von Flächeninhalten durch Grenzprozesse
Streifenmethode, auch mit verschieden breiten Streifen;
Hinweis auf die Zerlegungsinvarianz des Flächeninhalts;
Abschätzungen von Flächeninhalten,
z. B. mittels Tabellenkalkulation
(
G: Archimedes, ca. 287 - 212 v. Chr.)
das bestimmte Integral als Grenzwert von Summenfolgen;
Eigenschaften des bestimmten Integrals
Begriffe: Untersumme, Obersumme;
Integrand, Integrationsintervall;
Deutung des bestimmten Integrals als Flächenbilanz;
Linearitätseigenschaften
( G: Isaac Newton, 1642 - 1727;
Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 - 1716)
Bernhard Riemann (1826 - 1866)
2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und seine Anwendung
Bei stetigen Integranden ermöglicht die Differentialrechnung in zahlreichen Fällen die Auswertung bestimmter Integrale, wofür der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung die Grundlage bietet. Die Schüler sollen an dieser Stelle erneut erfahren, wie erfolgreich die Infinitesimalrechnung gerade auch zur Lösung anspruchsvoller Probleme eingesetzt werden kann. Anhand anwendungsbezogener Beispiele wird sich die praktische Bedeutung des Hauptsatzes deutlich herausstellen.
Integralfunktion;
der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Beweis des Hauptsatzes;
Integration als Umkehrung der Differentiation
Stammfunktion und Berechnung des bestimmten Integrals mit Hilfe einer Stammfunktion;
unbestimmtes Integral
Stammfunktionen von
Abgrenzung der Begriffe Integralfunktion, Stammfunktion, unbestimmtes Integral
Anwendungen
insbesondere Berechnung von Flächeninhalten;
auch Volumenberechnungen einfacher Rotationskörper
( Ph: Bewegungsvorgänge, Arbeit)
( WR, Ek: Mittelwerte)
Anstatt mit der Berechnung von Flächeninhalten zu beginnen, kann man auch die Stammfunktion an den Anfang stellen.
3 Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen,
ihre Behandlung mit den Mitteln der Infinitesimalrechnung
Die Untersuchung der Integralfunktion von 
zur unteren Grenze 1 zeigt, dass diese Funktion die typischen Eigenschaften der schon aus der Mittelstufe bekannten Logarithmusfunktionen hat. Die natürliche Exponentialfunktion wird als Umkehrfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion definiert; daraus ergeben sich ihre Eigenschaften. Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen spielen bei der Beschreibung vieler Probleme aus so unterschiedlichen Bereichen wie etwa Naturwissenschaften, Wirtschaft und Soziologie eine wichtige Rolle; davon sollen sich die Schüler anhand zahlreicher Beispiele überzeugen ( BO).
die natürliche Logarithmusfunktion und ihre Eigenschaften;
die Integralfunktion
schrittweise Begründung für das Vorliegen einer Logarithmusfunktion;
die Eulersche Zahl e
Definition von e durch
Leonhard Euler (1707 - 1783)
Grenzwertdarstellung für die Zahl e
Hinweis auf weitere Berechnungsmöglichkeiten sowie auf die Irrationalität und die Transzendenz von e
Umkehrfunktionen und ihre Ableitung
Wiederholung der Begriffe Umkehrbarkeit einer Funktion und Umkehrfunktion;
Satz von der Ableitung der Umkehrfunktion und sein Beweis;
Hinweis auf die Ableitung der Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten
die natürliche Exponentialfunktion als Umkehrfunktion der ln-Funktion;
Eigenschaften der e-Funktion
Herleitung der Eigenschaften aufgrund des Zusammenhangs mit der ln-Funktion
allgemeine Exponentialfunktionen bzw.
Logarithmusfunktionen
Darstellung mit Hilfe der e-Funktion bzw. der ln-Funktion;
Ableitung und Integration von 
,
Aufgaben und Anwendungen
Kurvendiskussionen;
( B: Wachstumsvorgänge, z. B. Wachstum von Populationen; Weber-Fechnersches Gesetz)
( Ek: Bevölkerungswachstum; DW)
( Ph, C: Abklingvorgänge, z. B. radioaktiver Zerfall; Absorptionsvorgänge)
( WR: stetige Verzinsung; U: Wachstumsvorgänge)
4 Rationale Funktionen*
Mit den gebrochenrationalen Funktionen lernen die Schüler Funktionen kennen, bei deren Untersuchung die bisherigen Kenntnisse und Arbeitstechniken aus der Infinitesimalrechnung auf vielfältige Weise zum Einsatz kommen. Dies gilt insbesondere für anspruchsvollere Kurvendiskussionen. Dabei sollen die Schüler einen Einblick in die zahlreichen interessanten Anwendungsmöglichkeiten rationaler Funktionen in Naturwissenschaft und Technik erhalten.
rationale Funktionen und ihre Eigenschaften;
Kurvendiskussionen
Definitionsmenge;
Stetigkeit und Differenzierbarkeit;
Verhalten an den Definitionslücken und im Unendlichen;
stetige Fortsetzung, Polstellen, Asymptoten;
Integration in einfachen Fällen
Anwendungen rationaler Funktionen in Naturwissenschaft und Technik
( Ph: z. B. Abbildung durch optische Linsen, Parallelschaltung von Widerständen, Satellitenbewegung, Van-der-Waals-Gleichung realer Gase)
( MT: Festigkeitslehre, Statik)
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* Dieser Abschnitt ist aus systematischen Gründen in Jahrgangsstufe 12 aufgeführt, seine Behandlung kann sich aber in die Jahrgangsstufe 13 erstrecken.
Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik
1 Zufallsexperimente; Mathematisierung realer Vorgänge
Probleme aus dem Alltag, aus den Naturwissenschaften und den Sozialwissenschaften führen auf den Begriff des Zufallsexperiments, mit dem nicht kausal erschließbare Vorgänge beschrieben werden können. Die Schüler sollen lernen, reale Situationen durch mathematische Modelle zu erfassen und die dabei eingeführten Sprechweisen und Begriffe sachgerecht zu verwenden.
Zufallsexperimente;
Glücksspiele, Urnenexperimente
( B: Vererbung von Eigenschaften)
( Ph: radioaktiver Zerfall)
( Sk: Meinungsumfragen)
( W: Wirklichkeit und mathematisches Modell)
Ergebnisse und Ergebnisraum;
Ereignisse und Ereignisraum;
Ereignisalgebra
Beschränkung auf endliche Ergebnisräume;
Umsetzung umgangssprachlicher Aussagen in Mengenschreibweise ( DS)
Rechengesetze
2 Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeitsbegriff
Bei einfachen Zufallsexperimenten lernen die Schüler, relative Häufigkeiten von Ereignissen experimentell zu bestimmen und graphisch darzustellen. Die Eigenschaften der relativen Häufigkeit motivieren die Einführung des axiomatischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs nach Kolmogorow. Frühere Versuche zur Definition von Wahrscheinlichkeiten sollen diskutiert werden, um den Schülern die Schwierigkeiten bei der Festlegung dieses Begriffs bewusstzumachen.
relative Häufigkeit eines Ereignisses;
Eigenschaften;
Versuchsreihen, z. B. Münzwurf, Würfelwurf, Ziehen aus einer Urne;
Möglichkeit der Computersimulation;
graphische Darstellung der relativen Häufigkeit eines Ereignisses in Abhängigkeit von der Anzahl der Versuche;
empirisches Gesetz der großen Zahlen
Stabilisierung der relativen Häufigkeit
historische Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs;
Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses;
Wahrscheinlichkeitsraum
klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff von Laplace;
statistische Wahrscheinlichkeit nach
v. Mises;
Axiome nach Kolmogorow, Folgerungen;
Vergleich mit dem Flächenmaß
( Ph, C: Orbitalmodell)
( G: Pierre Simon Laplace, 1749 - 1827)
Richard v. Mises (1883 - 1953)
Andrej Nikolajewitsch Kolmogorow (1903 - 1987)
3 Einführung in die Kombinatorik
Zahlreiche Vorgänge in der Wirklichkeit lassen sich durch mehrstufige Zufallsexperimente mathematisch beschreiben. In der Kombinatorik lernen die Schüler, die möglichen Ausgänge solcher Experimente durch geschickte Darstellung und durch systematisches Zählen zu erfassen. Damit können Laplace-Wahrscheinlichkeiten auch in komplizierteren Fällen berechnet werden.
mehrstufige Zufallsexperimente;
allgemeines Zählprinzip
insbesondere Urnenmodell: Ziehen mit Zurücklegen, Ziehen ohne Zurücklegen;
Baumdiagramme, Pfade
k-Tupel, k-Permutationen, k-Teilmengen,
k-Kombinationen aus einer n-Menge;
Formeln für ihre Anzahl
Anwendungen
insbesondere Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten
4 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen
Etwa bei Urnenexperimenten kann man feststellen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von den zur Verfügung stehenden Informationen abhängen kann. Diese Tatsache wird mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit genau beschrieben und führt zu den mathematischen Begriffen Unabhängigkeit und Abhängigkeit von Ereignissen. Die Schüler sollen verstehen, wie die Verwendung dieser Begriffe eine Entscheidung darüber unterstützen kann, ob Vorgänge einander beeinflussen oder nicht.
bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition durch
Nachweis, dass die Funktion PB ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist;
Pfadregeln und totale Wahrscheinlichkeit
Formel von Bayes
Lösung eines Umkehrproblems;
Herleitung für zweielementige Zerlegungen
Thomas Bayes (1702 - 1761)
Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit zweier Ereignisse;
Produktformel
Abgrenzung des Begriffs Unabhängigkeit vom Begriff Unvereinbarkeit;
Hinweis auf die Unabhängigkeit von mehr als zwei Ereignissen
Aufgaben und Anwendungen
etwa zur Bevölkerungsstatistik
( GE: Rauchen und Lebenserwartung)
( D: Textverständnis)
5 Zufallsgrößen und ihre Verteilungsfunktionen
Beispiele von Glücksspielen oder aus dem Versicherungswesen zeigen, dass in der Praxis den Ergebnissen von Zufallsexperimenten häufig Zahlen zugeordnet werden, etwa ein Gewinn bzw. eine Prämie. Die so entstehenden reellwertigen Funktionen bezeichnet man als Zufallsgrößen. Zu ihrer Charakterisierung dienen Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Verteilungsfunktionen. Die Schüler sollen hier eine hilfreiche Anbindung der Wahrscheinlichkeitsrechnung an die Infinitesimalrechnung erfahren.
Zufallsgrößen
Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße
Definition und Eigenschaften;
Graphen, Stabdiagramme, Histogramme
gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion zweier Zufallsgrößen;
Unabhängigkeit zweier Zufallsgrößen;
Verknüpfungen von Zufallsgrößen
Definition als reellwertige Funktion zweier reeller Variablen
6 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
als Maßzahlen von Zufallsgrößen
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung dienen der groben Charakterisierung von Zufallsgrößen. In der Praxis stellt sich oft die Frage, ob bestimmte zufällige Ereignisse, etwa beim Klima, noch in den Rahmen des Üblichen fallen oder als ungewöhnlich zu bewerten sind. In übersichtlichen Situationen sollen die Schüler lernen, solchen Fragen mit Hilfe der genannten Maßzahlen genauer nachzugehen.
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße
Definition, Verständnis für die Begriffsbildung;
Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz, auch bei Verknüpfungen von Zufallsgrößen
Aufgaben und Anwendungen
( WR: mittlere Reparaturkosten)
( Ph: Messgenauigkeit)
( MT, U: Klima)
Analytische Geometrie
1 Rechnen mit Vektoren im Anschauungsraum; Vektorräume
Der Vektorbegriff ist bereits in der ebenen Geometrie der Mittelstufe anschaulich eingeführt worden und hat auch in der Physik gute Dienste geleistet. Daran anknüpfend soll er nun im Anschauungsraum erklärt werden. Hier sollen die Schüler auch den sicheren Umgang mit Vektoraddition und S-Multiplikation lernen. Die erarbeiteten Rechenregeln werden dann als Axiome des abstrakten reellen Vektorraums betrachtet.
Vektorbegriff
Vektor als Menge aller parallelgleichen Pfeile im Anschauungsraum, Repräsentanten eines Vektors;
Deutung eines Vektors als Translation;
Darstellung von Vektoren in einem Koordinatensystem als 2- bzw. 3-Tupel reeller Zahlen
( Ph: z. B. Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Kräfte, Feldstärken)
Vektoraddition,
S-Multiplikation
anschauliche Motivation durch Verkettung von Translationen bzw. durch die zentrische Streckung;
Rechengesetze;
Gruppenstruktur
reeller Vektorraum
Vektorraumaxiome;
nichtgeometrisches Beispiel eines reellen Vektorraums;
Hinweis auf die Körperstruktur von 
und auf Vektorräume über beliebigen Körpern
2 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren;
Basis und Dimension eines Vektorraums
Die Verbindung von Vektoraddition und S-Multiplikation führt zu Linearkombinationen von Vektoren. Von dort gelangt man weiter zum Begriff der linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren und zu den Begriffen Basis und Dimension eines Vektorraums. Beim Versuch, einen Vektor als Linearkombination von Vektoren darzustellen, ergeben sich in natürlicher Weise lineare Gleichungssysteme. Die Schüler sollen die neuen Begriffe sachgerecht verwenden und die Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme mit zwei oder drei Unbekannten sicher bestimmen können. Darüber hinaus sollen sie das Gaußsche Eliminationsverfahren als leistungsfähige Lösungsmethode für beliebige lineare Systeme erkennen.
Linearkombination von Vektoren;
lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
allgemeine Definition für reelle Vektorräume;
Veranschaulichung im 
durch kollineare bzw. komplanare Vektoren;
geometrische Anwendungen
Basis und Dimension eines reellen Vektorraums
nichtgeometrisches Beispiel
( Ph: 6-dimensionaler Ort-Impuls-Raum, Phasenräume)
lineare Gleichungssysteme
homogene und inhomogene Systeme mit zwei oder drei Unbekannten;
Gaußscher Algorithmus
Hier können auch zwei- bzw. dreireihige Determinanten verwendet werden;
auch Beispiele größerer Systeme,
Möglichkeit zum Computereinsatz
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
( Ph: z. B. Festkörperphysik, Raumfahrt)
( WR: lineare Optimierung)
3 Koordinatendarstellung von Vektoren; Vektorraum und Punktraum
Jeder Vektor eines Vektorraums ist bezüglich einer fest gewählten Basis eindeutig als Linearkombination und damit in Koordinaten darstellbar. Nach Wahl eines Bezugspunktes kann man die Lage eines jeden Punktes im Anschauungsraum durch einen Vektor eindeutig beschreiben. Die Schüler sollen den Zusammenhang zwischen dem seit langem vertrauten Begriff des Koordinatensystems in der Ebene bzw. im Anschauungsraum und dem neuen Begriff der Basis des Vektorraums 
bzw. verstehen.
Koordinaten eines Vektors bezüglich einer Basis
Eindeutigkeit der Basisdarstellung;
insbesondere Verwendung der Standardbasis des bzw.
Punkte und ihre Ortsvektoren,
Koordinatensysteme
Unterscheidung zwischen Vektorraum und Punktraum
Teilverhältnis
innere und äußere Teilung einer Strecke, harmonische Teilung;
Mittelpunkt einer Strecke,
Schwerpunkt eines Dreiecks
4 Geraden- und Ebenengleichungen
in Vektor- und Koordinatenschreibweise
Vektoren ermöglichen die einfache Beschreibung von Geraden und Ebenen des Anschauungsraums durch Gleichungen in Parameterform. Eliminieren der Parameter führt zur Koordinatendarstellung von Geraden in der Ebene und von Ebenen im Raum. Die Schüler sollen lernen, anschaulich zu argumentieren und die Darstellungsformen sorgfältig zu unterscheiden. Sie sollen auch Sicherheit in der zeichnerischen Darstellung räumlicher Situationen gewinnen.
Geraden- und Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform
Hinweis auf Nichteindeutigkeit der Darstellung;
geeignete Zeichnungen und Skizzen
Geraden- und Ebenengleichungen in Koordinatenform
Gewinnen der Koordinatenform durch Eliminieren der Parameter; auch umgekehrt Aufstellen einer Parameterform aus einer Koordinatenform;
Zusammenhang mit der Geradengleichung aus der Mittelstufe;
Achsenabschnittsform;
Spurpunkte und Spurgeraden;
achsenparallele Geraden bzw. Ebenen;
zeichnerische Darstellungen
5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen
Die Schüler sollen lernen, Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen rechnerisch zu untersuchen, Schnittpunkte bzw. Schnittgeraden sicher zu bestimmen und sich die gegenseitige räumliche Lage der geometrischen Objekte vorzustellen. Dabei wird auf die Kenntnisse über lineare Gleichungssysteme zurückgegriffen.
Lagebeziehungen von Punkten und Geraden in der Ebene
auch geometrische Deutung von linearen (2,2)-Systemen
Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum
geometrische Interpretation rechnerischer Ergebnisse;
auch zeichnerische Darstellung räumlicher Situationen;
geometrische Deutung von linearen (3,3)-Systemen
