Fachlehrplan für Mathematik an bayerischen Gymnasien     KWMBl So.-Nr. 8/1991

 

Grundkurs

(3)

Jahrgangsstufe 12

 

Infinitesimalrechnung

 (ca. 40 Std.)
 

1 Berechnung von Flächeninhalten, das bestimmte Integral

(ca. 9 Std.)

Die Berechnung der Inhalte elementarer Flächen im Geometrieunterricht der Unter- und Mittelstufe erreicht bei der Kreismessung ihren Höhepunkt. Damit haben die Schüler bereits typische, mathematikgeschichtlich interessante Vorgehensweisen bei der Flächenmessung kennengelernt und können nun die Berechnung allgemeiner krummlinig begrenzter Flächen als naheliegende Erweiterung dieses Themenkreises verstehen. Mit dem bestimmten Integral begegnet ihnen in diesem Zusammenhang eine eindrucksvolle Anwendung des Grenzwertbegriffs der Infinitesimalrechnung.                        
 

Berechnung von Flächeninhalten durch Grenzprozesse
 

 

Streifenmethode;
auch Abschätzungen von Flächeninhalten, z. B. mittels Tabellenkalkulation
(Pfeil rechts G: Archimedes, ca. 287 - 212 v. Chr.)
 

das bestimmte Integral als Grenzwert von Summenfolgen;
Eigenschaften des bestimmten Integrals
 

 

Begriffe: Untersumme, Obersumme;
Integrand, Integrationsintervall;
Deutung des bestimmten Integrals als Flächenbilanz;
Linearitätseigenschaften
(Pfeil rechts G: Isaac Newton, 1642 - 1727;
Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 - 1716)
Bernhard Riemann (1826 - 1866)
 

 

2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
und seine Anwendung

(ca. 13 Std.)

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet Differenzieren und Integrieren und ermöglicht in vielen Fällen eine schnelle Auswertung bestimmter Integrale ohne mühsame Grenzwertberechnung. Vor allem bei anwendungsbezogenen Beispielen soll den Schülern die praktische Bedeutung des Hauptsatzes bewusst werden.                        
 

Integralfunktion;
der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
 

 

Beim Beweis des Hauptsatzes kann man sich auf monotone stetige Funktionen beschränken.
Integration als Umkehrung der Differentiation
 

Stammfunktion und Berechnung des bestimmten Integrals mit Hilfe einer Stammfunktion;
unbestimmtes Integral
 

 

Stammfunktionen von

Abgrenzung der Begriffe Integralfunktion, Stammfunktion, unbestimmtes Integral
 

Anwendungen
 

 

insbesondere Berechnung von Flächeninhalten
(Pfeil rechts Ph: Bewegungsvorgänge, Arbeit)
(Pfeil rechts WR, Ek: Mittelwerte)
 

Anstatt mit der Berechnung von Flächeninhalten zu beginnen, kann man auch die Stammfunktion an den Anfang stellen.                        
 

 

3 Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen,
ihre Behandlung mit den Mitteln der Infinitesimalrechnung

(ca. 18 Std.)

Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen spielen bei der Beschreibung vieler technisch-naturwissenschaftlicher, wirtschaftlicher und soziologischer Probleme eine wichtige Rolle. Die Schüler sollen daher die Eigenschaften dieser Funktionen kennenlernen. Die Beschäftigung mit diesen Funktionen bietet eine hervorragende Gelegenheit zur Wiederholung und Vertiefung der Methoden der Infinitesimalrechnung. Ein zentrales Anliegen des Unterrichts muss es sein, die Schüler anhand vielfältiger Anwendungen aus den oben genannten Bereichen von der Bedeutung der Logarithmusfunktionen und der Exponentialfunktionen zu überzeugen (Pfeil rechts BO).                        
 

Exponentialfunktionen und ihre Eigenschaften
 

 

Wiederholung aus der Mittelstufe
 

Ableitung von Exponentialfunktionen;
 

 


kann experimentell einsichtig gemacht werden.
 

die Eulersche Zahl e und ihre Grenzwertdarstellung
 

 

Definition von e mit Hilfe anschaulicher Überlegungen durch ;
Hinweis auf die Irrationalität von e und auf Berechnungsmöglichkeiten von e
Leonhard Euler (1707 - 1783)
 

die Exponentialfunktion zur Basis e und ihre Eigenschaften
 

 

auch Behandlung von
(Pfeil rechts MT, U, W: Probleme des Wachstums)
 

die natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der e-Funktion und ihre Ableitung;
Eigenschaften der ln-Funktion
 

 

geometrischer Zusammenhang zwischen den Tangenten in entsprechenden Graphenpunkten von Funktion und Umkehrfunktion
 

Darstellung allgemeiner Exponentialfunktionen bzw. Logarithmusfunktionen mit Hilfe der e-Funktion bzw. der ln-Funktion
 

  

Aufgaben und Anwendungen
 

 

Kurvendiskussionen, auch mit einfachen Integrationen
(Pfeil rechts B: Wachstumsvorgänge, z. B. Wachstum von Populationen)
(Pfeil rechts Ek: Bevölkerungswachstum; Pfeil rechts DW)
(Pfeil rechts Ph, C: Abklingvorgänge, z. B. radioaktiver Zerfall; Absorptionsvorgänge)
(Pfeil rechts WR: stetige Verzinsung; Pfeil rechts U: Wachstumsvorgänge)
 

Anstatt des hier vorgesehenen Weges kann man auch mit der Einführung der Logarithmusfunktion als Integralfunktion von zur unteren Grenze 1 beginnen.                        
 

 

Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik

(ca. 44 Std.)

1 Zufallsexperimente

(ca. 6 Std.)

Probleme aus dem Alltag, aus den Naturwissenschaften und den Sozialwissenschaften führen auf den Begriff des Zufallsexperiments, mit dem nicht kausal erschließbare Vorgänge beschrieben werden können. Die Schüler sollen lernen, in einfachen Fällen reale Situationen durch mathematische Modelle zu erfassen und die dabei eingeführten Sprechweisen und Begriffe sachgerecht zu verwenden.                        
 

Zufallsexperimente;
 

 

Glücksspiele, Urnenexperimente
(Pfeil rechts B: Vererbung von Eigenschaften)
(Pfeil rechts Ph: radioaktiver Zerfall)
(Pfeil rechts W: Wirklichkeit und mathematisches Modell)
 

 

Ergebnisse und Ergebnisraum;
Ereignisse und Ereignisraum
 

 

Beschränkung auf endliche Ergebnisräume;
Umsetzung umgangssprachlicher Aussagen in Mengenschreibweise (Pfeil rechts DS)
 

 

2 Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeitsbegriff

(ca. 6 Std.)

Bei einfachen Zufallsexperimenten lernen die Schüler, relative Häufigkeiten von Ereignissen experimentell zu bestimmen und graphisch darzustellen. Die Eigenschaften der relativen Häufigkeit führen zur Definition der Wahrscheinlichkeit nach Kolmogorow. Auf die historische Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs soll eingegangen werden.                        
 

relative Häufigkeit eines Ereignisses; Eigenschaften;
 

 

Versuchsreihen, z. B. Münzwurf, Würfelwurf, Ziehen aus einer Urne;
Möglichkeit der Computersimulation;
graphische Darstellung der relativen Häufigkeit eines Ereignisses in Abhängigkeit von der Anzahl der Versuche;
 

 

empirisches Gesetz der großen Zahlen
 

 

Stabilisierung der relativen Häufigkeit
 

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
 

 

Axiome nach Kolmogorow, Folgerungen;
klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff von Laplace;
Hinweis auf die statistische Wahrscheinlichkeit nach v. Mises
(Pfeil rechts Ph, C: Orbitalmodell)
(Pfeil rechts G: Pierre Simon Laplace, 1749 - 1827)
Richard v. Mises (1883 - 1953)
Andrej Nikolajewitsch Kolmogorow (1903 - 1987)
 

 

3 Einführung in die Kombinatorik

(ca. 9 Std.)

Zahlreiche Vorgänge in der Wirklichkeit lassen sich durch mehrstufige Zufallsexperimente mathematisch beschreiben. In der Kombinatorik lernen die Schüler, die möglichen Ausgänge solcher Experimente durch geschickte Darstellung und durch systematisches Zählen zu erfassen. Damit können Laplace-Wahrscheinlichkeiten auch in komplizierteren Fällen berechnet werden.                        
 

mehrstufige Zufallsexperimente; allgemeines Zählprinzip
 

 

insbesondere Urnenmodell: Ziehen mit Zurücklegen, Ziehen ohne Zurücklegen; Baumdiagramme, Pfade
 

k-Tupel, k-Permutationen, k-Teilmengen aus einer n-Menge; Formeln für ihre Anzahl
 

 


 

Anwendungen
 

 

insbesondere Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten
 

 

4 Unabhängigkeit zweier Ereignisse

(ca. 4 Std.)

Es ist eine Alltagserfahrung, dass manche Vorgänge einander nicht beeinflussen, andere dagegen wohl. Mit den mathematischen Begriffen Unabhängigkeit und Abhängigkeit zweier Ereignisse wird diese Erfahrung modelliert. Die Schüler sollen einsehen, dass die Anwendung dieser Begriffe in der Praxis eine Entscheidung in unklaren Fällen unterstützen kann.                        
 

Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit zweier Ereignisse; Produktformel
 

 

Abgrenzung des Begriffs Unabhängigkeit vom Begriff Unvereinbarkeit
 

 

5 Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

(ca. 12 Std.)

Die Bernoulli-Kette, der einfachste Typ eines mehrstufigen Zufallsexperiments, liefert ein aussagekräftiges und gut verständliches Modell für viele Vorgänge, z. B. in der Wirtschaft und im Gesundheitsbereich. Bei der Untersuchung von Bernoulli-Ketten lernen die Schüler am Beispiel der Binomialverteilung den zentralen Begriff der Wahrscheinlichkeitsverteilung kennen.                        
 

Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette
 

 

Verwenden von Urnenmodell und Baumdiagrammen;
Sprechweisen: Treffer, Niete, Bernoulli-Kette der Länge n mit dem Parameter p
Jakob Bernoulli (1655 - 1705)
(Pfeil rechts WR: Stichproben, z. B. für Qualitätskontrollen)
(Pfeil rechts B: Ansteckungsrisiko, z. B. bei AIDS)
(Pfeil rechts GE, W: Wirklichkeit und mathematisches Modell)
 

Binomialverteilung
 

 


Stabdiagramme, Histogramme;
Berechnung von Wahrscheinlichkeitssummen mit Hilfe von

Verwenden von Tabellen;
experimentelle Überprüfung, z. B. am Galtonbrett
Francis Galton (1828 - 1911)
 

 

6 Testen von Hypothesen in einfachen Fällen

(ca. 7 Std.)

Beim Testen einer Hypothese wird eine Vermutung oder eine Behauptung über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit Hilfe eines geeigneten Testverfahrens angenommen oder abgelehnt. In beiden Fällen ist die Entscheidung mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit behaftet. Die Schüler sollen diese Problematik verstehen (Pfeil rechts K, Ev, Eth), sie sollen lernen, einfache Tests durchzuführen, und dabei insbesondere einsehen, dass das Testergebnis von der festgelegten Entscheidungsregel abhängt.                        
 

Testen einer Hypothese
 

 

Alternativtest, Signifikanztest;
Entscheidungsregel,
Annahmebereich, Ablehnungsbereich;
Fehler und Risiko 1. bzw. 2. Art,
Signifikanzniveau
(Pfeil rechts WR: Qualitätskontrollen)
(Pfeil rechts Sk: Wahlprognosen)
 

 

 


  Inhalt  |  Vorbemerkungen                  Jahrgangsstufen:    5  |  6  |  7  |  8  |  9  |  10  |  11  |  GK12  |  GK13  |  LK12  |  LK13