Fachlehrplan für Mathematik an bayerischen Gymnasien     KWMBl So.-Nr. 8/1991

 

Jahrgangsstufe 11

(3, MNG 5)

Infinitesimalrechnung

 (ca. 84 Std.)
 

1 Reelle Funktionen

(ca. 11 Std.)

Das Untersuchen reeller Funktionen ist die zentrale Aufgabe der Infinitesimalrechnung in der Schule. Ausgehend von bereits aus der Mittelstufe bekannten Funktionen, sollen die Schüler den allgemeinen Begriff der reellen Funktion kennenlernen, mit den zugehörigen Fachausdrücken vertraut werden und sie sachgerecht anwenden können.                        
 

reelle Funktionen; Eigenschaften
 

 

Grundbegriffe:
Definitionsmenge, Zuordnungsvorschrift, Wertemenge, Funktionsterm, Funktionsgleichung, Funktionsgraph;
weitere Begriffe:
Symmetrie des Funktionsgraphen, Monotonie, Extremum, Nullstelle;
sorgfältige rechnerische und zeichnerische Behandlung einfacher Beispiele unter obigen Gesichtspunkten
(Pfeil rechts Ph: Zeit-Ort-Funktionen)
(Pfeil rechts WR: z. B. Kostenfunktionen)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Johann Bernoulli (1667 - 1748)
 

Umkehrbarkeit einer Funktion,
Umkehrfunktion
 

 

Umkehrbarkeit streng monotoner Funktionen;
Zusammenhang zwischen den Graphen von Funktion und Umkehrfunktion;
Bestimmen des Terms der Umkehrfunktion
 

Verknüpfung von Funktionen
 

 

Summe, Differenz, Produkt, Quotient und Verkettung
 

 

2 Grenzwert und Stetigkeit

(ca. 16 Std.)

Einen ersten Zugang zum systematischen Studium reeller Funktionen erhalten die Schüler durch die Untersuchung des Verhaltens einer Funktion in der Umgebung einer Stelle oder bei unbeschränkt wachsendem Argument. Dies soll den sicheren Umgang mit den wichtigen Begriffen Grenzwert und Stetigkeit vorbereiten und dabei die Schüler mit der mathematischen Behandlung des "Unendlich-Kleinen" und des "Unendlich-Großen" bekannt machen. Hier ist es besonders wichtig, die Schüler zu sorgfältigem Sprachgebrauch anzuhalten (Pfeil rechts DS).                  
 

Grenzwertbegriff;
Verhalten einer Funktion für

Konvergenz, bestimmte und unbestimmte Divergenz
 

 

Schreibweisen wie

Hier bietet sich die Möglichkeit, auf Grenzwerte von Zahlenfolgen einzugehen.
(Pfeil rechts Ph11: mittlere Geschwindigkeit, Momentangeschwindigkeit)
(Pfeil rechts W: Unendlichkeit)
 

Grenzwertsätze für Verknüpfungen von Funktionen
 

 

Exakte mathematische Begründungen dieser Sätze sind nicht erforderlich.
Grenzwerte rationaler Funktionen können mit Hilfe dieser Sätze auf die Grenzwerte der Funktionen

zurückgeführt werden.
 

Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle der Definitionsmenge; Stetigkeit in einem Intervall
 

 

Stetigkeitsuntersuchungen bei intervallweise definierten Funktionen
(Pfeil rechts Ph: Supraleitung, Kippschwingungen)
(Pfeil rechts WR: Steuertarif, Portofunktion)
(Pfeil rechts W: "natura non facit saltus", Chaostheorie)
 

Stetigkeitssätze für Verknüpfungen von Funktionen
 

 

Mit Hilfe dieser Sätze wird die Stetigkeit insbesondere der rationalen Funktionen erkannt.
 

stetige Fortsetzung einer Funktion;
stetige Fortsetzung von

 

 


 

Vollständigkeit von R und Zwischenwertsatz
 

 

Es genügt, den Zwischenwertsatz anschaulich plausibel zu machen.
Deutung der Vollständigkeit von R an der Zahlengeraden;
Anwendung beim Nachweis der Existenz von Nullstellen
 

Anstatt des hier vorgesehenen Weges "Grenzwert vor Stetigkeit" kann die Stetigkeit an den Anfang gestellt und der Grenzwert anschließend behandelt werden.
 

 

3 Differenzieren reeller Funktionen

(ca. 32 Std.)

Die Einführung der Ableitung einer reellen Funktion stellt einen bedeutenden Fortschritt in der Entwicklung der Mathematik dar (Pfeil rechts G: Isaac Newton, 1642 - 1727; Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 - 1716). Die Schüler sollen erfahren, wie sich das Änderungsverhalten einer Funktion durch die Ableitungsfunktion präzise beschreiben lässt und Monotonie sowie Extrema damit rechnerisch zugänglich werden. Ihr bisheriges Instrumentarium zur systematischen Untersuchung reeller Funktionen wird so entscheidend vergrößert. Fertigkeit in der Technik des Differenzierens ist auch wesentlich im Hinblick auf die spätere Integralrechnung und dienlich für andere Fächer, insbesondere für die Physik.                        
 

Steigung des Graphen einer Funktion in einem Punkt; Ableitung einer Funktion an einer Stelle der Definitionsmenge; Tangenten an einen Graphen
 

 

Differenzenquotient, Differentialquotient;
Bestimmen der Ableitung in einfachen Fällen;
Aufstellen von Tangentengleichungen
(Pfeil rechts Ph11: Momentangeschwindigkeit)
(Pfeil rechts C: Geschwindigkeit chemischer Reaktionen)
(Pfeil rechts WR: Änderungsraten)
 

Ableitungsfunktion
 

 

Bestimmen der Ableitungsfunktionen von:

 

Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen
 

 

Als Begründung genügen Plausibilitätsbetrachtungen. Die Beweisbedürftigkeit soll den Schülern deutlich gemacht werden. Auf den Mittelwertsatz soll hingewiesen werden.
Bestimmen der Monotonieintervalle und der lokalen Extrema einer differenzierbaren Funktion
 

Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit
 

 


 

Ableitungsregeln für Summe und Produkt
 

 

Sonderfälle: Ableitungsfunktionen von
 

höhere Ableitungen
 

 

insbesondere Bedeutung der 2. Ableitung für die Krümmung des Funktionsgraphen, Wendepunkte
(Pfeil rechts Ph11: beschleunigte Bewegung)
(Pfeil rechts V: Beschleunigen, Bremsen; Gefahren unangepasster Geschwindigkeit)
 

ganzrationale Funktionen
 

 

Untersuchung des Graphen auf Symmetrie bezüglich der y-Achse oder bezüglich des Ursprungs; Verhalten für
Teilbarkeit des Funktionsterms f(x) durch

Hinweis auf den Satz von der maximalen Anzahl der Nullstellen;
Stetigkeit und Differenzierbarkeit;
auch Untersuchung intervallweise ganzrationaler Funktionen
 

Kettenregel
 

 

Darlegung der Beweisidee;
Übung anhand vielfältiger Beispiele
(Pfeil rechts Ph: harmonische Schwingung)
 

Quotientenregel
 

 

Begründung mit Hilfe der Produktregel
 

 

4 Kurvendiskussion; Extremwertprobleme

(ca. 25 Std.)

Der nunmehr erreichte Kenntnisstand ermöglicht es den Schülern, den Verlauf eines Funktionsgraphen rasch zu ermitteln. Für die Suche nach Extrempunkten und nach Wendepunkten werden dabei notwendige bzw. hinreichende Kriterien entwickelt und eingesetzt. Insbesondere die Frage nach Maxima und Minima spielt in der Praxis bei funktionalen Zusammenhängen eine wichtige Rolle. Extremwertprobleme sollen daher mit den Schülern eingehend behandelt werden.                        
 

Kurvendiskussion;
 

 

Gesichtspunkte:
maximale Definitionsmenge, Wertemenge;
Symmetrie des Graphen bezüglich einer Geraden oder bezüglich eines Punktes;
Nullstellen;
 

 

notwendige Kriterien und hinreichende Kriterien für lokale und globale Eigenschaften des Funktionsgraphen
 

 

Verhalten am Rand der Definitionsmenge;
Monotonieverhalten, Hoch-, Tief- und Terrassenpunkte;
Krümmungsverhalten, Wendepunkte;
Zeichnen des Graphen unter Verwendung der ermittelten Eigenschaften
 

Bestimmen von ganzrationalen Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften
 

 

auch Hinweis auf Interpolationspolynome
 

Kurvenscharen
 

 

auch Ortskurven ausgezeichneter Punkte; Möglichkeit zum Computereinsatz
(Pfeil rechts Ph: Kinematik)
 

Extremwertprobleme
 

 

inner- und außermathematische Beispiele;
Deutung der gefundenen Lösung
(Pfeil rechts Ph: Brechungsgesetz)
(Pfeil rechts WR: z. B. Kostenfunktion)
(Pfeil rechts MT: Optimierungsprobleme)
 

 

Wahlpflichtgebiete für die mathematisch-naturwissenschaftliche Ausbildungsrichtung

(Die Auswahlvorschriften sind in den Vorbemerkungen genannt.)                        
 

 

Komplexe Zahlen (Grundlagen)

(ca. 28 Std.)

1 Prinzipien für Zahlenbereichserweiterungen; Strukturen

(ca. 6 Std.)

Bei einem Blick auf den in Unter- und Mittelstufe zurückgelegten Weg von den natürlichen bis zu den reellen Zahlen lassen sich wesentliche Prinzipien für Zahlenbereichserweiterungen herauskristallisieren. Die Schüler sollen bei der Betrachtung der bekannten Zahlenbereiche den Sinn der Einführung der Strukturen Gruppe und Körper einsehen und dabei die Möglichkeit erhalten, über die Grenzen der Schulmathematik hinauszublicken.                        
 

Zahlenbereichserweiterungen von N bis R; Prinzipien für Zahlenbereichserweiterungen;
die Strukturen Gruppe und Körper
 

 

Auf die historische Entwicklung des Zahlenbegriffs soll eingegangen werden.

Richard Dedekind (1831 - 1916)
 

 

2 Vierte Erweiterung des Zahlenbereichs: die komplexen Zahlen

(ca. 7 Std.)

An Hand historischer Betrachtungen zum Lösen algebraischer Gleichungen sollen die Schüler insbesondere erfahren, dass die Verwendung der imaginären Einheit i durch Euler zwar erfolgreich, aber letztlich mathematisch ohne Fundament war und erst im 19. Jahrhundert auf eine exakte Grundlage gestellt werden konnte.                        
 

der historische Weg zu den komplexen Zahlen
 

 

Geronimo Cardano (1501 - 1576)
Rafael Bombelli (1526 - 1572)
Rafael Bombelli (1707 - 1783)
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
 

Konstruktion der komplexen Zahlen;
der Körper C
 

 

komplexe Zahl als Paar reeller Zahlen;
Realteil, Imaginärteil;
Menge C der komplexen Zahlen;
Definition von Addition und Multiplikation in C;
Einbettung von R in C;
Summenschreibweise komplexer Zahlen;
Struktur von C
 

 

3 Rechnen mit komplexen Zahlen; Lösen von Gleichungen in C

(ca. 15 Std.)

Veranschaulichung und Deutung der komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene lassen Anwendungsmöglichkeiten innerhalb der Mathematik sowie in Naturwissenschaft und Technik sichtbar werden. Die Kreisteilungsgleichungen und der Fundamentalsatz der Algebra sind Glanzpunkte in der Entwicklung der Mathematik; die Schüler sollen beide kennenlernen und in diesem Zusammenhang eine Abrundung der bisherigen Gleichungslehre erleben.                        
 

Veranschaulichung komplexer Zahlen; konjugiert komplexe Zahl einer komplexen Zahl z, Betrag einer komplexen Zahl
 

 

Gaußsche Zahlenebene;
geometrische Deutung der Addition
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
 

Grundrechenarten
 

 

auch Lösen quadratischer Gleichungen
 

Polarform komplexer Zahlen
 

 


Anwendung bei Multiplikation und Division, Formel von Moivre;
geometrische Deutung der Multiplikation komplexer Zahlen
Abraham de Moivre (1667 - 1754)
(Pfeil rechts Ph: Wechselstromwiderstände, Schwingungen)
 

reine Gleichungen,
Kreisteilungsgleichungen
 

 

Bestimmen der Lösungsmenge;
Gruppe der n-ten Einheitswurzeln,
Zusammenhang mit regulären Vielecken
 

Fundamentalsatz der Algebra
 

 

Überblick über die Lösungsmengen quadratischer bzw. kubischer Gleichungen mit reellen Koeffizienten;
Mitteilung des Fundamentalsatzes,
Linearfaktorzerlegung als Folgerung;
algebraische Abgeschlossenheit von C;
Hinweis auf den Satz von Abel
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
Niels Henrik Abel (1802 - 1829)
Evariste Galois (1811 - 1832)
 

 

Komplexe Zahlen (Abbildungen)

(ca. 28 Std.)

Abbildungen in der Zahlenebene

(ca. 28 Std.)

Die Schüler sollen lernen, Punktmengen in der Gaußschen Zahlenebene analytisch zu beschreiben und nicht zu schwierige Abbildungen von C in C zu überblicken. Im Vordergrund steht hierbei der geometrische Aspekt. Im Zusammenhang mit der Spiegelung am Einheitskreis sollen die Schüler mit der Riemannschen Zahlenkugel eine überraschende Veranschaulichung komplexer Zahlen kennenlernen. Die Untersuchung von Folgen komplexer Zahlen, die durch wiederholte Anwendung einer Abbildung erzeugt werden, macht mit der wichtigen mathematischen Methode der Iteration bekannt und führt zu Juliamengen und zur Mandelbrotmenge. Veranschaulichungen dieser fraktalen Gebilde sind von hohem ästhetischem Reiz.                        
 

Darstellung einfacher Punktmengen in der Zahlenebene
 

 

Parallelen zur reellen und zur imaginären Achse, Ursprungsgeraden, Kreislinien;
Parallelstreifen, Rechtecke, Kreisscheiben, Kreisringe, Kreissektoren;
Bestimmen geometrischer Örter,
z. B. Thaleskreis, Kreis des Apollonius;
Erkennen von Punktmengen, die in Parameterform gegeben sind
 

elementare Abbildungen von C in C
 

 


auch Verkettungen dieser Abbildungen;
Betrachtungen hinsichtlich Längentreue, Winkeltreue, Fixpunkten, Fixgeraden;
Involutionen;
Bestimmen der Bilder einfacher Punktmengen
 

die Spiegelung am Einheitskreis
 

 


unendlich ferner Punkt, Riemannsche Zahlenkugel;
Spiegeln am Einheitskreis mit Zirkel und Lineal;
Bestimmen der Bilder einfacher Punktmengen
Bernhard Riemann (1826 - 1866)
 

weitere nichtlineare Abbildungen von C in C
 

 

insbesondere
(Pfeil rechts Ph: Umströmung von Tragflächen, Shukowski-Profil)
 

durch Iteration erzeugte Folgen komplexer Zahlen
 

 

einfache Iterationen, z. B.

Deutung in der Zahlenebene;

Juliamengen und Mandelbrotmenge
Gaston Julia (1893 - 1978)
Benoit Mandelbrot (geb. 1924)
(Pfeil rechts W: Chaostheorie)
(Pfeil rechts Ku: Computergraphik)
 

 

Sphärische Trigonometrie (Grundlagen)

(ca. 28 Std.)

1 Geometrie auf der Kugel

(ca. 10 Std.)

In der Kugelgeometrie müssen die Schüler viele aus der ebenen Geometrie vertraute Begriffe und Zusammenhänge neu überdenken. An die Stelle von Geraden treten Großkreise, das Parallelenaxiom gilt nicht mehr, und die Winkelsumme ist überraschenderweise nicht mehr für alle Dreiecke gleich. Die Schüler erfahren dabei, dass geometrische Aussagen nur einen bestimmten Geltungsbereich haben, und sie erkennen, wie wichtig die Wahl eines geeigneten mathematischen Modells zur Lösung von Anwendungsproblemen ist.                        
 

Großkreise und Kleinkreise auf der Kugeloberfläche
 

 

geographisches Koordinatensystem (Pfeil rechts Ek)
kürzeste (sphärische) Verbindung zweier Kugelpunkte
 

Kugelzweieck
 

 

Seiten, Winkel;
Flächeninhalt
 

Kugeldreieck
 

 

Es werden hier und im folgenden nur Eulersche Kugeldreiecke betrachtet.
Festlegung von Seiten und Winkeln am Dreikant;
Flächeninhalt;
Polardreieck
Leonhard Euler (1707 - 1783)
 

Sätze über Seiten und Winkel im Kugeldreieck
 

 

Seitensumme, Winkelsumme;
Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln
Dabei lässt sich durch Übergang zum Polardreieck zu jedem Satz die polare Übertragung gewinnen.
 

 

2 Berechnungen im Kugeldreieck

(ca. 18 Std.)

Die Herleitung der Grundformeln des Kugeldreiecks gibt den Schülern Gelegenheit, ihre trigonometrischen Kenntnisse aufzufrischen und zu festigen.  Das systematische Bearbeiten der Grundaufgaben ermöglicht es, die später auftretenden Anwendungsprobleme zu lösen. Anhand von geeigneten Zeichnungen und Modellen soll das räumliche Vorstellungsvermögen unterstützt und weiterentwickelt werden.                        
 

Grundformeln der sphärischen Trigonometrie: Sinussatz;
Seitenkosinussatz;
Winkelkosinussatz
 

 

Herleitung des Winkelkosinussatzes aus dem Seitenkosinussatz durch Übergang zum Polardreieck
 

Lösen der Grundaufgaben
 

 

Berechnungen im Kugeldreieck
 

Anwendungen auf die Erdkugel
 

 

Entfernung zweier Erdorte;
Kurswinkel, Hinweis auf Loxodrome;
Abstand eines Punktes von einem Großkreis
(Pfeil rechts Ek: Geodäsie)
 

Anstatt Sinussatz und Seitenkosinussatz direkt aus Betrachtungen am Dreikant zu gewinnen, kann auch zunächst das rechtwinklige Kugeldreieck behandelt und dann das allgemeine Kugeldreieck entsprechend zerlegt werden.                        
 

 

Sphärische Trigonometrie
(Anwendungen auf die Erd- und Himmelskugel)

(ca. 28 Std.)

1 Mathematische Geographie

(ca. 14 Std.)

Zu Beginn der Neuzeit ergab sich vor allem bei der Seefahrt verstärkt die Notwendigkeit, sichere Methoden zur Ortsbestimmung zu finden. Anhand von Peilungsproblemen sollen die Schüler einen ersten Eindruck vom Anwendungsreichtum der sphärischen Trigonometrie gewinnen. Die Beschäftigung mit Kartenentwürfen zeigt die grundsätzlichen Schwierigkeiten auf, die bei der Abbildung der Kugeloberfläche in die Ebene entstehen.                        
 

Peilungsprobleme
 

 

Fremdpeilung;
Eigenpeilung durch Bestimmung der Peilwinkelgleichen, z. B. mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms;
Bestimmung von Erdbebenzentren
 

Kartenentwürfe
 

 

Hier ist zunächst nur an einen Überblick über die drei Haupttypen Zylinderentwurf, Azimutalentwurf und Kegelentwurf gedacht.
Begriffe: Längentreue, Winkeltreue, Flächentreue;
Unmöglichkeit der Abwicklung einer Kugeloberfläche in die Ebene
 

exemplarische Behandlung eines der drei Kartenentwurfstypen
 

 

Bestimmung der Abbildungsgleichungen;
Zeichnen des Netzentwurfs;
Abbildungseigenschaften
(Pfeil rechts Ek: Geodäsie)
 

 

2 Mathematische Astronomie

(ca. 14 Std.)

Die mathematische Astronomie beschäftigt sich mit den scheinbaren Bewegungen der Himmelskörper infolge der täglichen Drehung der Erde. Die Schüler lernen mit der Himmelskugel ein Modell kennen, an dem sie ihre mathematischen Kenntnisse zur Lösung nautischer Probleme einsetzen können.                        
 

Himmelskugel als mathematisches Modell
 

 

Sternenhimmel, Ekliptik, Bewegung der Planeten
(Pfeil rechts Ph11)
(Pfeil rechts W: Entwicklung des naturwissenschaftlichen Weltbilds)
 

Koordinatensysteme der mathematischen Astronomie
 

 

Horizontsystem, Äquatorsystem;
nautisches Dreieck;
Bestimmung der geographischen Breite
(Pfeil rechts Ph: Astronomie)
 

Grundbegriffe der Zeitrechnung
 

 

tägliche und jährliche Bewegung der Sonne; wahre Ortszeit, mittlere Ortszeit, Zonenzeit
 

 

 


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