Fachlehrplan für Mathematik an bayerischen Gymnasien     KWMBl So.-Nr. 8/1991

 

Jahrgangsstufe 10

(3, MNG 4)

Algebra

 (ca. 38 Std.)
 

1 Rechnen mit Potenzen

(ca. 14 Std.)

Ausgehend von Potenzen mit natürlichen Exponenten, lernen die Schüler exemplarisch die schrittweise Erweiterung einer Begriffsbildung kennen, wobei die Beibehaltung der Rechengesetze als Leitfaden dient (Permanenzprinzip). Die Schüler sollen mit Potenzen sicher umgehen lernen und zunehmend auch die vorteilhafte Darstellung betragsmäßig großer und kleiner Zahlen mittels Zehnerpotenzen beherrschen. Die Gleitkommadarstellung erlaubt es, die Genauigkeit gerundeter Größen eindeutig anzugeben.                        
 

Potenzen mit natürlichen, ganzzahligen und rationalen Exponenten
 

 

Definitionen und Rechengesetze;
Wurzelschreibweise von Potenzen
 

Rechnen mit Potenzen
 

 

Intensives Üben soll auch algebraische Grundkenntnisse (z. B. Rechnen mit Bruchtermen, Faktorisieren) immer wieder auffrischen.
Polynomdivision;
Gleitkommadarstellung;
Einbeziehung des Taschenrechners
(Pfeil rechts Ph: Größen; Zahlen mit großem bzw. kleinem Betrag)
(Pfeil rechts C: Verdünnungen, ppm, ppb)
(Pfeil rechts U: Schadstoffkonzentrationen)
 

 

2 Potenzfunktionen

(ca. 7 Std.)

Mit der Betrachtung der Potenzfunktionen erhalten die Schüler Zugang zu einer weiteren Funktionenklasse. Das Herausarbeiten geometrischer Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen in Verbindung mit der algebraischen Darstellung erzieht zu systematischem Vorgehen und zum Denken in Zusammenhängen. Dadurch wird die Funktionsbetrachtung reichhaltiger und eine wichtige Grundlage für die Infinitesimalrechnung in der Oberstufe gelegt.                        
 

Potenzfunktionen;
Eigenschaften, Klassifikation der Graphen
 

 

Definitionsmenge, Wertemenge, Symmetrien, Monotonieverhalten;
Grundtypen: Parabeln und Hyperbeln n-ter Ordnung;
Graphen der Wurzelfunktionen

(Pfeil rechts WR: Kostenfunktionen)
 

Umkehrbarkeit der Potenzfunktionen
 

 

Definitionsmenge, Wertemenge und Graph der Umkehrfunktion
 

Die Potenzfunktionen können jeweils bereits im Anschluss an die Behandlung der entsprechenden Potenztypen besprochen werden.                        
 

 

3 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen

(ca. 17 Std.)

Exponentialfunktionen spielen ebenso wie ihre Umkehrfunktionen, die Logarithmusfunktionen, eine tragende Rolle, wenn es darum geht, Wachstums- oder Abklingvorgänge in Natur, Wirtschaft und Technik quantitativ zu erfasssen und funktional darzustellen (Pfeil rechts BO). Die Schüler sollen dies anhand charakteristischer Beispiele erfahren und die Voraussetzungen erwerben, derlei Zusammenhänge und Vorgänge rational zu bewerten. Dazu ist es nötig, dass sie die dabei auftretenden mathematischen Probleme sowohl graphisch als auch rechnerisch meistern.                        
 

Exponentialfunktionen;
Eigenschaften und Graphen;
 

 

Spätestens hier muss kurz auf Potenzen mit irrationalen Exponenten eingegangen werden.
Definitionsmenge, Wertemenge, Monotonie;
Verhalten am Rand der Definitionsmenge;
Beschreibung von Wachstums- und Abklingvorgängen, rechnerische und zeichnerische Auswertung
(Pfeil rechts MT: Probleme des Wachstums)
 

 

geometrische Folgen
 

 

Summenformel mit Anwendungen
(Pfeil rechts WR: Zinseszinsen)
 

Logarithmusfunktionen als Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen;
Eigenschaften und Graphen
 

 

Definitionsmenge, Wertemenge, Monotonie;
Verhalten am Rand der Definitionsmenge
 

Rechnen mit Logarithmen
 

 

Logarithmen als Bezeichnungen für Exponenten;
Logarithmengesetze;
Sonderfall: dekadischer Logarithmus
(Pfeil rechts G: Seefahrt und Astronomie am Beginn der Neuzeit)
John Neper (1550 - 1617)
Jost Bürgi (1552 - 1632)
Henry Briggs (1561 - 1631)
Johannes Kepler (1571 - 1630)
 

Exponentialgleichungen, logarithmische Gleichungen
 

 

exemplarische Behandlung
 

Anwendungen, Sachaufgaben
 

 

auch graphische Darstellungsmöglichkeiten (einfachlogarithmisches und doppeltlogarithmisches Papier)
(Pfeil rechts Ph: radioaktiver Zerfall)
(Pfeil rechts C: pH-Wert)
(Pfeil rechts B: Bakterienwachstum, Weber-Fechnersches Gesetz)
(Pfeil rechts Ek: Bevölkerungsexplosion, Ressourcen; Pfeil rechts U)
 

 

Geometrie

 (ca. 46 Std.)
 

1 Fortführung der ebenen Geometrie: Kreismessung

(ca. 10 Std.)

Die Probleme beim Messen von Kreisumfang und Kreisinhalt sollen den Schülern bewusst werden. Von dem damit zusammenhängenden wissenschaftlichen Bemühen, ja Ringen um Erkenntnis ("Quadratur des Kreises"), das sich über zwei Jahrtausende erstreckt hat, sollen sie erfahren. Bei der Bestimmung von Umfang bzw. Flächeninhalt des Kreises wird eine heuristische Grenzwertbetrachtung durchgeführt. Ein sicheres Umgehen mit den einschlägigen Formeln, insbesondere bei der Anwendung auf Figuren, wird angestrebt.                        
 

Umfang und Flächeninhalt eines Kreises, die Kreiszahl pi
 

 

Begriffsbildung und Herleitung der Formeln mit Hilfe geeigneter Vielecke
Der Grenzprozess wird plausibel gemacht.
(Pfeil rechts ITG: Computereinsatz zur näherungsweisen Berechnung von pi)
(Pfeil rechts G: 1. Buch der Könige, Kap.7, Vers 23; Hippokrates, um 440 v. Chr.;
Eratosthenes, um 230 v. Chr.;
Archimedes, ca. 287 - 212 v. Chr.;
Ludolf van Ceulen, 1539 - 1610;
Leonhard Euler, 1707 - 1783;
Ferdinand Lindemann, 1852 - 1939)
(Pfeil rechts Ek: Bestimmung des Erdumfangs)
 

Länge eines Kreisbogens, Flächeninhalt eines Kreissektors
 

 

auch Berechnung von Figuren, die Kreisteile enthalten
(Pfeil rechts Ku: gotische Maßwerke)
(Pfeil rechts Ph: Drehbewegungen, Winkelgeschwindigkeit)
(Pfeil rechts Ek: Meridianvermessung)
 

 

2 Fortführung der Raumgeometrie: Zylinder, Kegel, Kugel

(ca. 14 Std.)

Zylinder, Kegel und Kugel kommen in vielfältiger Weise in unserer natürlichen und technischen Umwelt vor und regen zu entdeckender Beschäftigung mit Raumformen besonders an. Die Schüler sollen lernen, Volumen und Oberfläche dieser Körper zu berechnen. Die Entwicklung der entsprechenden Formeln erfordert wiederum Grenzwertbetrachtungen, die zwar erst mit Mitteln der Oberstufenmathematik präzisiert, aber bereits hier vorbereitend angesprochen werden können.                        
 

Oberfläche von Zylinder und Kegel;
 

 

Grund- und Deckfläche, beim Schrägbild Hinweis auf Ellipsen; Abwickelbarkeit der Mantelfläche, Mantellinie;
 

 

Formeln für die Oberfläche
 

 

Beschränkung auf gerade Kreiszylinder und gerade Kreiskegel
 

Rauminhalt von Zylinder und Kegel;
Volumenformeln
 

 

Analogie zu den entsprechenden Formeln für Prisma und Pyramide In diesem Zusammenhang ist es möglich, das Cavalierische Prinzip wieder aufzugreifen.
 

Rauminhalt und Oberfläche der Kugel;
Volumenformel und Formel für die Oberfläche
 

 

Herleitung der Volumenformel mit Hilfe des Cavalierischen Prinzips
Für die Oberflächenberechnung genügt eine Plausibilitätsüberlegung.
 

Anwendungsaufgaben;
einfache Rotationskörper
 

 

Berechnungen auch im Rahmen von Sachaufgaben

(Pfeil rechts Ku: z. B. Architektur)
(Pfeil rechts Ek: Erdkugel)
(Pfeil rechts B: z. B. Bedeutung des Verhältnisses von Oberfläche und Volumen)
(Pfeil rechts U: Verpackungsprobleme)
(Pfeil rechts MT: Maschinen und Bauformen)
 

 

3 Trigonometrie

(ca. 22 Std.)

Mit den trigonometrischen Funktionen lernen die Schüler ein vielseitiges Werkzeug kennen, mit dem man einerseits die Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln eines Dreiecks rechnerisch erfassen, andererseits aber auch periodische Zusammenhänge funktional beschreiben kann. Dabei sollen die Schüler den Anwendungsreichtum der Trigonometrie (Vermessungs- und Navigationsaufgaben, Beispiele aus Technik, Physik und Astronomie) erleben. Die Steigung einer Geraden, ein auch für die Infinitesimalrechnung wichtiger Begriff, wird neu beschrieben. Die trigonometrischen Funktionen runden den Funktionenvorrat ab, der für die Oberstufe zur Verfügung stehen muss. Der Formelapparat soll auf das unbedingt Notwendige beschränkt werden.                        
 

Sinus, Kosinus, Tangens eines Winkels
 

 

Definition z. B. am rechtwinkligen Dreieck oder am Einheitskreis;

Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte besonderer Winkel
 

Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
 

 

auch senkrechte Projektion,
Steigung einer Geraden,
Polarkoordinaten
(Pfeil rechts Ph: Brechungsgesetz)
(Pfeil rechts Ek: Höhenlinien)
(Pfeil rechts V: Steigung von Verkehrswegen)
(Pfeil rechts U: z. B. Neigungswinkel bei Solaranlagen)
 

Sinussatz und Kosinussatz
 

 

trigonometrische Berechnungen am allgemeinen Dreieck;
Vermessungsaufgaben
(Pfeil rechts Ph: Berechnungen zur Kräftezerlegung)
(Pfeil rechts Ek: Landvermessung)
 

die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen
 

 

Bogenmaß;
Definitionsmenge und Wertemenge von sin, cos, tan;
Eigenschaften: Periodizität, Symmetrie;
Deutung dieser Eigenschaften an den Graphen
 

die Funktionenschar

 

 

Verlauf der Graphen,
Bedeutung der Parameter
(Pfeil rechts Ph10: sinusförmige Wechselspannung)
 

Additionstheoreme für Sinus und Kosinus
 

 

exemplarische Behandlung
 

 

Wahlpflichtgebiete für die mathematisch-naturwissenschaftliche Ausbildungsrichtung

 

Kegelschnitte

(ca. 28 Std.)
 

1 Zylinderschnitte

(ca. 10 Std.)

Ellipsen kommen im Alltag als Schnittkurven, Kreisprojektionen und Schattenlinien häufig vor, ohne dass dies immer bewusst wahrgenommen wird. Am besonders übersichtlichen Fall des Schnittes einer Drehzylinderfläche mit einer Ebene sollen die Schüler auf diese Phänomene aufmerksam werden und gleichzeitig lernen, wie man ebene Kurven auf Zylinderflächen untersucht und beschreibt. Modelle und Zeichnungen sollen dabei die Raumvorstellung unterstützen und fördern.                        
 

die Ellipse als Schnittkurve;
 

 

Symmetrieeigenschaften, Mittelpunkt, Scheitel und Halbachsen einer Ellipse;
 

 

Deutung der Ellipse als Bild eines Kreises bei Parallelprojektion
 

 

Mantellinien der Zylinderfläche als Projektionsstrahlen
 

Mittelpunktsgleichung von Kreis und Ellipse;
 

 

Die Ellipsengleichung ergibt sich aus der Kreisgleichung mit Hilfe einer axialen Streckung.
 

 

Konstruktion von Ellipsen bei gegebenen Halbachsen
 

 

Konstruktion mit Hilfe der beiden Hauptkreise
 

Brennpunkte und Brennpunktseigenschaft einer Ellipse;
Ellipsenkonstruktion mit Hilfe der Brennpunkte
 

 

Die Brennpunkte und die entsprechende Ortseigenschaft ergeben sich mit Hilfe der Dandelin-Kugeln. Pierre Dandelin (1794 - 1847)
(Pfeil rechts Ku: barocke Architektur)
(Pfeil rechts Ph: Flüstergewölbe)
 

 

2 Kegelschnitte

(ca. 18 Std.)

Beim Schneiden einer Drehkegelfläche mit einer Ebene erhält man Kurven unterschiedlichen Typs. Bei ihrer Untersuchung ergibt sich für die Schüler die überraschende Tatsache, dass manche dieser Kurven schon aus ganz anderem Zusammenhang, nämlich als Graphen von Funktionen bekannt sind. Ein Einblick in die physikalische und technische Bedeutung der Kegelschnitte soll vermittelt werden.                        
 

die drei Typen nichtentarteter Kegelschnitte
 

 

Als vorläufige Bezeichnungen werden "geschlossener" bzw. "einteilig-offener" bzw. "zweiteiliger" Kegelschnitt empfohlen.
 

die Ellipse als Kegelschnitt
 

 

Anhand der Brennpunktseigenschaft wird der geschlossene Kegelschnitt als Ellipse erkannt.
 

die Hyperbel als Kegelschnitt;
 

 

Symmetrieeigenschaften, Mittelpunkt, Scheitel, reelle und imaginäre (Halb-)Achse des zweiteiligen Kegelschnitts;
 

 

Hyperbelkonstruktion mit Hilfe der Brennpunkte;
Mittelpunktsgleichung der Hyperbel;
Asymptoten
 

 

Brennpunkte und die entsprechende Ortseigenschaft
 

die Parabel als Kegelschnitt;
 

 

Symmetrieeigenschaft, Brennpunkt und Leit-linie des einteilig-offenen Kegelschnitts, Ortseigenschaft
 

 

Scheitelgleichung der Parabel;
Parabelkonstruktion mit Hilfe von Brennpunkt und Leitlinie
 

 

Die aus der Ortseigenschaft gewonnene Scheitelgleichung zeigt, dass es sich bei diesen Kurven um die schon bekannten Graphen der quadratischen Funktionen handelt.
(Pfeil rechts G: Archimedes, ca. 287 - 212 v. Chr.; Apollonios von Perge ca. 262 - ca. 190 v. Chr.)
 

physikalische und technische Bedeutung der Kegelschnitte
 

 

(Pfeil rechts Ph: Bahnkurven von Planeten, Kometen und Satelliten; Reflektoren, Parabolantennen)
(Pfeil rechts G: Tycho Brahe, 1546 - 1601; Johannes Kepler, 1571 - 1630)
(Pfeil rechts MT: Raumfahrt)
 

  

Informatik (Grundlagen)

 (ca. 28 Std.)

Dieses Wahlpflichtgebiet kann in Jahrgangsstufe 10 nur gewählt werden, wenn es nicht schon in Jahrgangsstufe 9 behandelt wurde.
Der Lehrplan wird aus Jahrgangsstufe 9 entsprechend übernommen.                        
 

 

Informatik (Fortführung)

 (ca. 28 Std.)

Die Wahl dieses Wahlpflichtgebiets setzt die Behandlung von Informatik (Grundlagen) in Jahrgangsstufe 9 voraus.                        
 

 

1 Strukturierung von Programmen: Prozeduren

(ca. 8 Std.)

Umfangreichere Algorithmen werden durch einen Prozess der schrittweisen Verfeinerung entwickelt. Die Schüler sollen in dieser Jahrgangsstufe kleinere Algorithmen als Prozeduren und Funktionen selbständig formulieren und dabei systematisches und übersichtliches Vorgehen lernen. In diesem Zusammenhang lassen sich die Inhalte von Informatik (Grundlagen) wiederholen.                        
 

Prozeduren, Funktionen
 

 

Vereinbarung und Aufruf von Prozeduren und Funktionen;
formale und aktuelle Parameter;
Werte- und Variablenparameter
Auf eine Schachtelung von Prozeduren sollte verzichtet werden.
 

 

2 Strukturierung von Daten: Felder

(ca. 7 Std.)

Anhand der Datenstruktur "Feld" lernen die Schüler das Zusammenfassen von Daten gleichen Typs mit Hilfe einer geeigneten Indizierung kennen und entwickeln die Fähigkeit, komplexe Situationen zu gliedern.                        
 

Begriff des Feldes, Vereinbarung eines Feldes
 

 

Index, Komponente;
Beschränkung auf ein- und zweidimensionale Felder
 

Verwendung von Feldern
 

 

Eingabe, Sortierung und Ausgabe
 

 

3 Untersuchung einfacher numerischer Verfahren

(ca. 13 Std.)

Die numerische Lösung eines Problems beruht im allgemeinen auf einem Näherungsverfahren. Den Schülern soll bewusst werden, dass bei der Erzeugung einer Näherung zwangsläufig Fehler auftreten. Auf die Ursachen der Fehler und die möglichen Fehlerarten sollte kurz eingegangen werden. Die Ermittlung von Lösungen eines Problems soll nicht ausschließlich durch die Erstellung eines Programms, sondern auch durch den Einsatz eines geeigneten Werkzeugs, z. B. eines Tabellenkalkulationsprogramms, geschehen. Die Schüler erleben dabei die Situation von Benutzern, die ihre Computeranwendung ohne Kenntnisse einer Programmiersprache gestalten.                        
 

Lösen eines linearen Gleichungssystems mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren
 

 

Es sollen nur eindeutig lösbare (n,n)-Systeme betrachtet werden.
Durchführung der Probe, Untersuchung der Brauchbarkeit einer Lösung;
auch Beispiele mit Koeffizienten, bei denen das Verfahren zu unbrauchbaren numerischen Lösungen führt
(Pfeil rechts WR: lineare Optimierung)
 

Vergleich von Verfahren zur Berechnung der Kreiszahl pi
 

 

Anhand des Verfahrens von Archimedes lässt sich zeigen, dass algebraisch äquivalente Algorithmen nicht zu gleichen numerischen Lösungen führen müssen.
 

Berechnung von Funktionswerten der Sinusfunktion
 

 

Verwendung eines einfachen geometrischen Verfahrens zur Approximation der Gegenkathete des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis, z. B. nach Archimedes (ca. 287 - 212 v. Chr.)
 

 

 


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